L'algebra è la branca della matematica che è orientata alla generalizzazione delle operazioni aritmetiche attraverso segni, lettere e numeri . In algebra, lettere e segni rappresentano un'altra entità attraverso il simbolismo.

Lineare, d'altra parte, è un aggettivo che si riferisce a ciò che è collegato a una linea (una linea o una sequenza). Nel campo della matematica, l'idea di lineare si riferisce a ciò che ha conseguenze che sono proporzionali a una causa.

È noto come algebra lineare alla specializzazione dell'algebra che lavora con matrici, vettori, spazi vettoriali e equazioni di tipo lineare . È un'area di conoscenza sviluppata soprattutto negli anni '40 con i contributi del tedesco Hermann Grassmann (1809-1877) e dell'irlandese William Rowan Hamilton (1805-1865), tra gli altri matematici.

Gli spazi vettoriali sono strutture che si presentano quando viene registrato un set che non è vuoto, un'operazione esterna e un'operazione interna. I vettori sono gli elementi che fanno parte dello spazio vettoriale. Per quanto riguarda le matrici, è un insieme bidimensionale di numeri che consente la rappresentazione dei coefficienti che hanno i sistemi di equazioni lineari.

William Rowan Hamilton è uno dei nomi più importanti nel campo della matematica, poiché è stato lui a coniare il termine "vettore", oltre a aver creato i quaternioni. Questo concetto si estende dai numeri reali, come accade con quelli complessi, e sono gruppi di quattro numeri molto utili quando si studiano le quantità in tre dimensioni che sperano di avere una grandezza e un indirizzo.

I numeri che compongono il quaternario devono soddisfare alcune regole di addizione, moltiplicazione e uguaglianza . Questa scoperta ha avuto una notevole importanza per la matematica. Rispetto all'insieme dei numeri reali, è definito come quello in cui si trovano i razionali (zero, positivi e negativi) e irrazionali (quelli che non possono essere espressi).

Seguendo la definizione degli elementi trattati con l'algebra lineare, è importante sapere che un sistema di equazioni lineari è composto, come suggerisce il nome, di equazioni lineari (un insieme di equazioni di primo grado), definite su un anello commutativo o un corpo .

Gli spazi vettoriali, al centro dello studio dell'algebra lineare, hanno due insiemi: uno di vettori e l'altro di scalari. Gli scalari sono elementi dei corpi matematici che sono usati per eseguire la descrizione di un fenomeno con magnitudo, sebbene senza direzione; può essere un numero reale, complesso o costante.

Nelle trasformazioni lineari, i vettori non sono sempre sequenze scalari; è anche possibile che siano elementi di qualsiasi insieme. Tanto che uno spazio vettoriale può nascere da qualsiasi insieme su un campo fisso.

Un altro punto di interesse dell'algebra lineare è il gruppo di proprietà che appare quando vengono imposti ulteriori strutture sopra gli spazi vettoriali; un esempio molto frequente di ciò si verifica quando viene presentato un prodotto interno, cioè una sorta di prodotto tra una coppia di vettori, che dà origine all'introduzione di concetti come l'angolo formato da due vettori o la lunghezza di essi .

È corretto dire che l'algebra lineare è un'area attiva che si connette con molti altri, alcuni dei quali non appartengono alla matematica, come equazioni differenziali, analisi funzionale, ingegneria, ricerca operativa e grafica computerizzata. . Inoltre, aree di matematica come la teoria dei moduli o l' algebra multilineare sono state sviluppate da algebra lineare.