L'esperto di matematica Benoît Mandelbrot è stato responsabile dello sviluppo, nel 1975, del concetto di frattale, che deriva dalla parola latina fractus (può essere tradotto come "rotto" ). Il termine coniato dal francese fu presto accettato dalla comunità scientifica e fa già parte del dizionario della Royal Spanish Academy (RAE) .

Un frattale è una figura, che può essere spaziale o piatta, formata da componenti infiniti . La sua caratteristica principale è che il suo aspetto e il modo in cui viene distribuito statisticamente non varia anche quando la scala utilizzata nell'osservazione viene modificata.

I frattali sono, quindi, elementi classificati come semi-geometrici (a causa della loro irregolarità non appartengono alla geometria tradizionale) che hanno una struttura essenziale che si ripete a scale diverse.

Il frattale può essere creato dall'uomo, anche con intenzioni artistiche, sebbene ci siano anche strutture naturali che sono frattali (come i fiocchi di neve).

Secondo Mandelbrot, i frattali possono presentare 3 diversi tipi di auto - somiglianza, il che significa che le parti hanno la stessa struttura dell'insieme totale:

* esatta autosimilarità, il frattale è identico in qualsiasi scala;
* quasi-idoneità, con il cambio di scala, le copie del set sono molto simili, ma non identiche;
* Auto-similarità statistica, il frattale deve avere dimensioni statistiche o numeriche che vengono conservate con la variazione della scala.

Le tecniche frattali vengono utilizzate, ad esempio, per comprimere i dati . Attraverso il teorema del collage, è possibile trovare un IFS (sistema di funzioni iterate), che include le alterazioni che una figura completa sperimenta in ciascuno dei suoi frammenti auto-simili. Quando l'informazione è codificata nell'IFS, è possibile elaborare l'immagine.

Parliamo di musica frattale quando un suono viene generato e ripetuto secondo schemi di comportamento spontaneo che si trovano molto spesso in natura. Va detto che esistono programmi per computer in grado di creare composizioni di questo tipo senza l'intervento umano.

Il set di Cantor è spesso citato in relazione ai frattali, sebbene non sia corretto. La sua definizione, e che di solito genera tale confusione, è la seguente: prendi un segmento e dividilo in tre, quindi rimuovi il centro e ripeti infinitamente l'azione suddetta con il resto.

La dimensione frattale

La geometria classica non è abbastanza ampia da comprendere i concetti necessari per misurare diverse forme frattali. Se consideriamo che si tratta di elementi le cui dimensioni cambiano incessantemente, non è facile, per esempio, calcolare la loro lunghezza. La ragione è che se provi a misurare una linea frattale usando un'unità tradizionale, ci saranno sempre componenti così piccoli e sottili da non poter essere delimitati con precisione.

Nella curva di Koch, tracciata a destra, si può vedere che dalla sua nascita un terzo cresce ad ogni passo; in altre parole, la lunghezza della porzione che si trova all'inizio aumenta all'infinito, determinando che ogni curva è 4/3 della precedente.

Poiché la lunghezza della linea frattale e quella dello strumento di misura o dell'unità di misura scelta sono direttamente correlate, è assurdo usare questa nozione. Ecco perché è stato creato il concetto di dimensione frattale che consente, quando parliamo di linee frattali, di sapere in che modo o in che misura occupano una porzione del piano .

In relazione alla geometria tradizionale, un segmento ha una dimensione, un cerchio, due e una sfera, tre. Poiché una linea frattale non copre l'intera porzione piana, dovrebbe avere una dimensione che non raggiunge due.